Chứng Minh Tính Chia Hết Của Một Nhóm Số Tự Nhiên

Hôm nay, Gia sư toán sẽ chia sẻ 1 dạng bài toán chứng minh về tính chia hết của vài nhóm số tự nhiên với mức độ từ dễ đến khó để học sinh giỏi toán rèn luyện phương pháp chứng minh của mình.

Bài 1

Trong 3 số tự nhiên tùy ý chọn ( a, b, c ε N ), chứng minh rằng luôn có ít nhất 1 cặp số ( 2 số trong 3 số đó) mà tổng và hiệu của chúng chia hết cho 2.

Giải : Áp dụng quy tắc chẵn –lẻ

Xét các trường hợp:

· a, b, c cùng chẵn –> đương nhiên chọn bất kỳ cặp nào cũng có
tổng và cả hiệu của chúng là số chia hết cho 2

· a, b, c cùng lẻ –> đương nhiên chọn bất kỳ cặp nào cũng có
tổng và cả hiệu của chúng là số chia hết cho 2

· a, b, c có 1 cặp là số lẻ –> Hiệu và tổng của 2 số lẻ chia hết cho 2

· a, b, c có 1 cặp là số chẵn –> Hiệu và tổng của 2 số chẵn chia hết cho 2

Hai trường hợp đầu có 3 cặp số thỏa mãn đầu bài
Hai trường hợp cuối có 1 cặp số thỏa mãn đầu bài
—> Vậy có ít nhất 1 cặp số mà tổng và hiệu của chúng chia hết cho 2 (ĐPCM)

Bài 2

Trong 4 số tự nhiên tùy ý chọn ( a, b, c, d ε N ), chứng minh rằng luôn có ít nhất 1 cặp số ( 2 số trong 4 số đó) mà tổng hoặc hiệu của chúng chia hết cho 5.

Giải : Áp dụng qui tắc số dư

Ta thấy phép chia cho 5 có thể được các số dư là 0, 1, 2, 3, 4,

Xét các trường hợp:

· cả 4 số có số dư khác nhau (0,1,2,3);(0,2,3,4);(0,1 4,2); (0,4,2,3);(1,2,3,4)
bao giờ cũng có ít nhất 1 cặp số có số dư là (1+4) hoặc (2+3)
–> Tổng 1 cặp số đó chia hết cho 5

Với nhóm số có số dư (1,2,3,4) –> 2 cặp có tổng chia hết cho 5
· cả 4 số có số dư trùng nhau –> 6 cặp từng đôi một có hiệu = 0
–> chia hết cho 5
· 2 cặp có số dư trùng nhau –> Hiệu của 2 cặp đó = 0 –> chia hết cho 5
· 1 cặp có số dư trùng nhau –> Hiệu của 1 cặp đó = 0 –> chia hết cho 5

Vậy ít nhất cũng chọn ra 1 cặp số mà tổng hoặc hiệu của chúng chia hết cho 5.

Bài 3

Chứng minh rằng trong 7 số tự nhiên bất kỳ tùy chọn, bao giờ cũng có 4 số mà tổng của chúng chia hết cho 4

Giải:
Đặt 7 số TN đó là A, B, C, D, E, F, G. Lấy kết quả của bài 1: Trong 3 số tự nhiên bất kỳ luôn có 2 số là số chẵn ( chia hết cho 2)

A, B, C Và D, E, F mỗi nhóm có 1 cặp chia hết cho 2

* Giả thử (A+B) =2 m và (D+E)=2n –> (A+B) + (C+D)= 2(m+n)

Còn 3 số C F G sẽ có 1 cặp chia hết cho 2

( C + F) = 2 p Với m,n,p cúng là số tự nhiên

Trong 3 số m, n, p luôn chọn được 2 số có tổng chia hết cho 2.

*Giả thử (m + n) =2 q ( q là số TN) thì ta có

(A+B) + (C+D)= 2(m+n) = 4q ==> A+B+C+D chia hết cho 4 (ĐPCM)

Tương tự nếu chon các nhóm số khác ta cũng được 4 số trong 7 số bât kỳ trên chia hết cho 4

Chú ý:

– Với bài toán chứng minh ta phải xét tất cả các trường hợp có thể xảy ra như bài 1 và bài 2; Với bài 3, tài liệu này chỉ nêu 1 trường hợp, còn các trường hợp khác nêu “CM tương tự”

– Bài 1 và bài 2 chú ý kết luận có sự khác nhau bởi 2 chữ “và” với chữ “hoặc” !

Leave a Reply

Call Now Button